Programa de PHP de Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando las fórmulas de Cramer.

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando las fórmulas de Cramer.

Considere ahora un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas como se muestra a continuación:La solución para este sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas utilizando las fórmulas de Cramer, requiere calcular los determinantes que resultan de una suma de seis términos, obtenidos de los productos formados con los elementos mostrados arreglados como matriz cuadrada A de tercer orden:

  • det (A) =+a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 -a11 a23 a32 -a12 a21 a33 -a13 a22 a31

Los tres términos positivos son el producto de tres elementos a i j de la matriz situados: en la diagonal principal y en dos triángulos isósceles cuya base es paralela a esa diagonal. Los tres términos negativos se obtienen igual, pero con la diagonal secundaria.

Este determinante de tercer orden sugiere la gran dificultad en labor de cálculo cuando se intenta resolver un sistema de ecuaciones lineales con las fórmulas de Cramer, por lo que se justifica el empleo de otros métodos para ese fin, sobre todo tratándose de sistemas de m = 3 ecuaciones o mayor.

Ejemplo: Sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas utilizando las fórmulas de Cramer.

Resuelva el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, mediante las formulas de Cramer:

  • Det. A = ((2)(3)(0)) + ((1)(1)(1)) + ((2) (-1)(-1)) – ((2)(1)(-1)) – ((1)(-1)(0)) – ((2)(3)(1)) = -1

  • Det. D1 = ((4)(3)(0)) + ((1)(1)(1)) + ((-1)(3)(2)) – ((-1)(4)(1)) – ((1)(3)(0)) – ((2)(3)(1)) = -7
  • Det. D2 = ((2)(3)(0)) + ((4)(1)(1)) + ((-1)(1)(2)) – ((2)(1)(1)) – ((-1)(4)(0)) – ((2)(3)(1)) = -6

  • Det. D3 = ((2)(3)(1)) + ((1)(3)(1)) + ((-1)(-1)(4)) – ((-1)(1)(1)) – ((-1)(3)(2)) – ((4)(3)(1)) =8

X1= -7 / -1 = 7;  X2 = -6 / -1 = 6X3 = 8 / -1 = -8

Otro ejemplo:

Referencia:

http://148.204.211.134/polilibros/portal/Polilibros/P_Terminados/Investigacion_de_Operaciones_Careaga/Common/IO-apendicea-eqlineales3q3x.htm

http://www.fisicanet.com.ar/matematica/sistemas_ecuaciones/ap12_aplicaciones_de_los_determinantes.php

Código en PHP:

quice85Código en PHP del archivo seic1.php:
<head>
<title>
SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS
UTILIZANDO LAS FORMULAS DE CRAMER
</title>
</head>
<body bgcolor="#000000" text="#ffff00" topmargin=50 link="#FF0000"
vlink="#ffffff" alink="#FF9900">
<center>
<marquee bgcolor="#006699" behavior="scroll" direction="left">
<b><font color="#FFFFCC" size="5">
<h1>
<blink>
SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS
UTILIZANDO LAS FORMULAS DE CRAMER
</blink>
</h1>
</font></b>
</marquee>
<b>
<hr>
SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS
UTILIZANDO LAS FORMULAS DE CRAMER
<hr>
<form action="seic2.php" method="POST">
<table border=3>
<tr align="center">
<td><input type="text" name="a11" size=2></td><td> X </td>
<td><input type="text" name="a12" size=2></td><td> Y </td>
<td><input type="text" name="a13" size=2></td><td> Z </td>
<td> = </td><td><input type="text" name="b1" size=2></td>
</tr>
<tr align="center">
<td><input type="text" name="a21" size=2></td><td> X </td>
<td><input type="text" name="a22" size=2></td><td> Y </td>
<td><input type="text" name="a23" size=2></td><td> Z </td>
<td> = </td><td><input type="text" name="b2" size=2></td>
</tr>
<tr align="center">
<td><input type="text" name="a31" size=2></td><td> X </td>
<td><input type="text" name="a32" size=2></td><td> Y </td>
<td><input type="text" name="a33" size=2></td><td> Z </td>
<td> = </td><td><input type="text" name="b3" size=2></td>
</tr>
</table>
<hr>
<input type="submit" name="calc" value="Calcular">
</form>
<hr>
Nota:<br>
Por ejemplo si la ecuaci&oacute;n fuera 2x-3y+z=5,
el valor de x=2, y=-3 y z=1.
<table border=3>
<tr align="center">
<td><input type="text" value="2" size=2></td><td> X </td>
<td><input type="text" value="-3" size=2></td><td> Y </td>
<td><input type="text" value="1" size=2></td><td> Z </td>
<td> = </td><td><input type="text" value="5" size=2></td>
</tr></table></b>
</center>
</body>

Código en PHP del archivo seic2.php:
<head>
<title>
SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS
UTILIZANDO LAS FORMULAS DE CRAMER
</title>
</head>
<body bgcolor="#000000" text="#ffff00" topmargin=50 link="#FF0000"
vlink="#ffffff" alink="#FF9900">
<center>
<marquee bgcolor="#006699" behavior="scroll" direction="left">
<b><font color="#FFFFCC" size="5">
<h1>
<blink>
SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS
UTILIZANDO LAS FORMULAS DE CRAMER
</blink>
</h1>
</font></b>
</marquee>
<?php
$a11=$_POST["a11"];
$a12=$_POST["a12"];
$a13=$_POST["a13"];
$b1=$_POST["b1"];
$a21=$_POST["a21"];
$a22=$_POST["a22"];
$a23=$_POST["a23"];
$b2=$_POST["b2"];
$a31=$_POST["a31"];
$a32=$_POST["a32"];
$a33=$_POST["a33"];
$b3=$_POST["b3"];
$D=($a11*$a22*$a33)+($a12*$a23*$a31)+($a13*$a21*$a32)-($a11*$a23*$a32)-($a12*$a21*$a33)-($a13*$a22*$a31);
$DX=($b1*$a22*$a33)+($a12*$a23*$b3)+($a13*$b2*$a32)-($b1*$a23*$a32)-($a12*$b2*$a33)-($a13*$a22*$b3);
$DY=($a11*$b2*$a33)+($b1*$a23*$a31)+($a13*$a21*$b3)-($a11*$a23*$b3)-($b1*$a21*$a33)-($a13*$b2*$a31);
$DZ=($a11*$a22*$b3)+($a12*$b2*$a31)+($b1*$a21*$a32)-($a11*$b2*$a32)-($a12*$a21*$b3)-($b1*$a22*$a31);
$X=$DX/$D;
$Y=$DY/$D;
$Z=$DZ/$D;
?>
<b>
<hr>
SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS
UTILIZANDO LAS FORMULAS DE CRAMER
<hr>
<table border=3>
<tr align="center">
<?php
echo"<th>X</th>";echo"<th>Y</th>";
echo"<th>Z</th>";echo"<th>X</th>";
echo"<th>Y</th>";
?>
</tr>
<tr align="center">
<?php
echo"<th>&nbsp;+&nbsp;</th>";echo"<th>&nbsp;+&nbsp;</th>";
echo"<th>+&nbsp;-</th>";echo"<th>&nbsp;-&nbsp;</th>";
echo"<th>&nbsp;-&nbsp;</th>";
?>
</tr>
<tr align="center">
<?php
echo"<td>".$a11."</td>";echo"<td>".$a12."</td>";
echo"<td>".$a13."</td>";
echo"<td>".$a11."</td>";echo"<td>".$a12."</td>";
?>
</tr>
<tr align="center">
<?php
echo "<td>".$a21."</td>";echo"<td>".$a22."</td>";
echo "<td>".$a23."</td>";
echo "<td>".$a21."</td>";echo"<td>".$a22."</td>";
?>
</tr>
<tr align="center">
<?php
echo"<td>".$a31."</td>";echo"<td>".$a32."</td>";
echo"<td>".$a33."</td>";
echo"<td>".$a31."</td>";echo"<td>".$a32."</td>";
?>
</tr>
</table>
<?php
echo"Det. A = (".$a11."*".$a22."*".$a33.")+(".$a12."*".$a23."*".$a31.")+(".$a13."*".$a21."*".$a32.")-(".$a11."*".$a23."*".$a32.")-(".$a12."*" . $a21."*".$a33.")-(".$a13."*".$a22."*".$a31.")";
echo "<br>El valor de la Det. A:".$D;
?>
<hr>
<table border=3>
<tr align="center">
<?php
echo"<th>A</th>";echo"<th>Y</th>";
echo"<th>Z</th>";
echo"<th>A</th>";echo"<th>Y</th>";
?>
</tr>
<tr align="center">
<?php
echo"<th>&nbsp;+&nbsp;</th>";echo"<th>&nbsp;+&nbsp;</th>";
echo"<th>+&nbsp;-</th>";
echo"<th>&nbsp;-&nbsp;</th>";echo"<th>&nbsp;-&nbsp;</th>";
?>
</tr>
<tr align="center">
<?php
echo"<td>".$b1."</td>";echo"<td>".$a12."</td>";
echo"<td>".$a13."</td>";
echo"<td>".$b1."</td>";echo"<td>".$a12."</td>";
?>
</tr>
<tr align="center">
<?php
echo "<td>".$b2."</td>";echo"<td>".$a22."</td>";
echo"<td>".$a23."</td>";
echo "<td>".$b2."</td>";echo"<td>".$a22."</td>";
?>
</tr>
<tr align="center">
<?php
echo"<td>".$b3."</td>";echo"<td>".$a32."</td>";
echo"<td>".$a33."</td>";
echo"<td>".$b3."</td>";echo"<td>".$a32."</td>";
?>
</tr>
</table>
<?php
echo "Det X = (".$b1."*".$a22."*".$a33.")+(".$a12."*".$a23."*".$b3.")+(".$a13."*".$b2."*".$a32.")-(".$b1."*".$a23."*".$a32.")-(".$a12."*".

$b2."*".$a33.")-(".$a13."*".$a22."*".$b3.")";
echo "<br>El valor de la Det. DX:".$DX;
echo "<br>X=".$DX." / ".$D." = ".$X;
?>
<hr>
<table border=3>
<tr align="center">
<?php
echo"<th>X</th>";echo"<th>A</th>";
echo"<th>Z</th>";
echo"<th>X</th>";echo"<th>A</th>";
?>
</tr>
<tr align="center">
<?php
echo"<th>&nbsp;+&nbsp;</th>";echo"<th>&nbsp;+&nbsp;</th>";
echo"<th>+&nbsp;-</th>";
echo"<th>&nbsp;-&nbsp;</th>";echo"<th>&nbsp;-&nbsp;</th>";
?>
</tr>
<tr align="center">
<?php
echo"<td>".$a11."</td>";echo"<td>".$b1."</td>";
echo"<td>".$a13."</td>";
echo"<td>".$a11."</td>";echo"<td>".$b1."</td>";
?>
</tr>
<tr align="center">
<?php
echo "<td>".$a21."</td>";echo"<td>".$b2."</td>";
echo"<td>".$a23."</td>";
echo "<td>".$a21."</td>";echo"<td>".$b2."</td>";
?>
</tr>
<tr align="center">
<?php
echo"<td>".$a31."</td>";echo"<td>".$b3."</td>";
echo"<td>".$a33."</td>";
echo"<td>".$a31."</td>";echo"<td>".$b3."</td>";
?>
</tr>
</table>
<?php
echo "Det Y = (".$a11."*".$b2."*".$a33.")+(".$b1."*".$a23."*".$a31.")+(".$a13."*".$a21."*".$b3.")-(".$a11."*".$a23."*".$b3.")-(".$b1."*". $a21."*".$a33.")-(".$a13."*".$b2."*".$a31.")";
echo "<br>El valor de la Det. DY:".$DY;
echo "<br>Y=".$DY." / ".$D." = ".$Y;
?>
<hr>
<table border=3>
<tr align="center">
<?php
echo"<th>X</th>";echo"<th>Y</th>";
echo"<th>A</th>";
echo"<th>X</th>";echo"<th>Y</th>";
?>
</tr>
<tr align="center">
<?php
echo"<th>&nbsp;+&nbsp;</th>";echo"<th>&nbsp;+&nbsp;</th>";
echo"<th>+&nbsp;-</th>";
echo"<th>&nbsp;-&nbsp;</th>";echo"<th>&nbsp;-&nbsp;</th>";
?>
</tr>
<tr align="center">
<?php
echo"<td>".$a11."</td>";echo"<td>".$a12."</td>";
echo"<td>".$b1."</td>";
echo"<td>".$a11."</td>";echo"<td>".$a12."</td>";
?>
</tr>
<tr align="center">
<?php
echo "<td>".$a21."</td>";echo"<td>".$a22."</td>";
echo"<td>".$b2."</td>";
echo "<td>".$a21."</td>";echo"<td>".$a22."</td>";
?>
</tr>
<tr align="center">
<?php
echo"<td>".$a31."</td>";echo"<td>".$a32."</td>";
echo"<td>".$b3."</td>";
echo"<td>".$a31."</td>";echo"<td>".$a32."</td>";
?>
</tr>
</table>
<?php
echo "Det Z = (".$a11."*".$a22."*".$b3.")+(".$a12."*".$b2."*".$a31.")+(".$b1."*".$a21."*".$a32.")-(".$a11."*".$b2."*".$a32.")-(".$a12."*".$a21. "*".$b3.")-(".$b1."*".$a22."*".$a31.")";
echo "<br>El valor de la Det. DZ:".$DZ;
echo "<br>Z=".$DZ." / ".$D." = ".$Z;
?>
<hr>
<a href="seic1.php">Regresar</a>
</b>
</center>
</body>

Si quieres ver el programa en ejecución da clic aquí.

Bueno amigos espero que les sirva este código.

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Acerca de quice85

Hola soy ingeniero en sistemas computacionales me dedico a dar clases, talleres de programación, diseño gráfico, diseño y programación de páginas WEB, mantenimiento, animación y ofimática. Mi nombre es Elfego Emilio Quintana de la Cruz (quice85). Correo: E-mail:quice85@outlook.com E-mail alternativo: quice85@hotmail.com o quice85@gmail.com. Facebook: Emilio Quintana o quice85. Twitter@: Emilio Quintana o quice85. Youtube: quice85. Empresa: SIEE (Sistemas Informáticos Eléctricos Electrónicos).
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2 respuestas a Programa de PHP de Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando las fórmulas de Cramer.

  1. Excelente Programa, es música para mis oidos, felicitaciones.

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